Sebaran peluang teoritis

DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnyadistribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data. (sumber : id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_normal)

 DISTRIBUSI BINOMIAL (1)

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan

Distribusi binomial juga didefinisikan bila suatu ulangan binomial mempunyai peluang keberhasilan p dan nilai peluang kegagalan a = 1 – p, maka sebaran peluang bagi peubah acak binomial X, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas adalah

b(x,n,p)= 

untuk x = 0,1, 2, …, n

sedangkan untuk nilai tengah dan ragam bagi sebaran binomial adalah µ = np dan σ2 = npq. Hal ini dpat dibuktikan misalkan hasil pada ulangan ke-j dinyatakan oleh peubah acak Ij yang bernilai 0 dan 1, masing-masing dengan peluang q dan p. Ini disebur peubah Bernoulli atau lebih tepat disebut peubah indikator, KarenaIj = 0 berarti kegagalan dan Ij = 1 yang berarti keberhasilan. Dengan demiklian, dalam suatu percobaan binomial banyaknya keberhasilan dapat dituliskan sebagai jumlah n peubah indikator yang bebas, sehingga

X = I1 + I2 + … + In

Nilai tengah Ij adalah E(Ij) = 0.q + 1.p = p. Maka kita mendapatkan nilai tengah bagi sebaran binomial, yaitu

µ = E(X) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)

= p + p + … + p

= np

Ragam bagi setiap Ij adalah

σ2Ij = E[(Ij – p)2] = E(Ij2) – p2

= (0)2q + (1)2p – p2

                                                    = p(1 – p) = pq

Dengan demikian, ragam sebaran binomial adalah

σ2x = σ2I1 + σ2I2 + … + σ2In

= pq + pq + … + pq

= npq

Distribusi Binomial (2)

Suatu percobaan sering kali terdiri atas ulangan-ulangan, dan masing-masin mempuyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama berhasil dan gagal. Misalnya saja dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali. Hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Dan salah satu diantara keduanya ditentukan sebagai “berhasil”. Begitupula, bila 5 kartu diambil berturut-turut. Untuk kartu merah diberi label “berhasil” atau “gagal” jika yang terambil warna hitam.

Bila setiap kartu dikembalikan sebelum pengembalian berikutnya, maka kedua percobaan yan dilakukan diatas mempunyai ciri-ciri sama, yaitu bahwa ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar ½. Percobaan semacam ini dinamakan percobaaan binom. Perhatikan bahwa dalam percobaan pengambilan kartu tersebut, peluang keberhasilan dalam setiap ulangan akan berubah ila kartu tidak dikebalikan sebelum pengambilan berikutnya. Karena peluang terambilnya pada pengambilan pertama adalah ½, sedangkan pada engambila yang kedua peluang itu bersifat bersyarat, bernilai 26/51 atau 25/51, bergantung pada hasil pengembalian pertama. Bila demikian halnya percobaan ini bukan bersifat binom. Untuk lebih ringkasnya dapat dilihat pada definisi berikut.

Jika suatu ulangan binomial mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagala q=1-p , maka distribusi probabilitas bagi peubah acak binomial x, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangn bebas , adalah

B(x;n;p) = Cxn px qn-x

Untuk x=1,2,3,4,……., n

Contoh :

Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 buah dadu setimbang dilempar 5 kali.

Jawab : peluang keberhasilan setiap ulangan yang bebas ini adalah 1/6 dan peluang kegagalan adalah 5/6. Dalam hal itu munculnya bilangan 2 di anggap keberhasilan. Maka :

B {x;5,1/6} = C35 (1/6)3 (5/6)2

= 5! . 52 .

3! 2! 63

= 0,0032

Distribusi Multinomial

Percobaan Binomial menjadi suatu percobaan multinomial bila kita membuat setiap percobaan mempunyai lebih dari 2 keluaran yang mungkin. Penarikan sebuah kartu dari suatu tumpukan dengan pengembalian merupakan percobaan multinomial bila ke-empat jenis kartu menjadi keluarannya.

Secara umum, Bila suatu percobaan dapat menghasilkan salah satu dari k keluaran yan mungkin E1,E2, ………, Ek dengan probabilitas P1,P2, ………, Pk maka sebaran probabilitaspeubah acak X1,X2, ……….., Xk yang mewakili jumlah kejadian untuk E1,E2, ………, Ek didalam n percobaan yang bebas adalah

n X1 X2 ……X3

f(X1,X2,…….xk;P1,P2,…….Pk,n)= X1,X2,….XK P1 P2 PK

Dengan

∑ Xi = n dan ∑ Pi = 1

Contoh : Bila sepasang dadu dilemparkan 6 kali, berapakah probabilitas mendapatkan suatu total 7 atau 11 ebanyak 2 kali , pasangan angka yang sama sekali, dan sembarang gabungan lainnya sebanyak 3 kali.

Jawab : Kita daftar kejadian-kejadian yang mungkin berikut ini :

E1= sebuah total 7 atau 11 muncul

E2 = Pasangan angka yang sama muncul

E3 = Bukan angka sama atau bukan total 7 atau 11 yang muncul

Probabilitas yang berkesuaian untuk percobaan yang diketahui tersebut adalah p1 = 2/9 , p2= 1/6 dan p3 = 11/18. Nilai-nilia in tetap konstan untuk ke 6 percobaan tersebut. Dengan menggunakan sebaran multinomial dengan x1 = 2 , x2 = 1, dan x3=3 kita dapatkan bahwa probabilitas yang diperlukan adalah

Distribusi Hipergeometrik

Bila dalam populasi N benda, k benfda diantaranya diberi label ‘berhasil’ N-k benda lainya diberi label ‘gagal’, maka distribusi probabilitas bagi peubah acak geometrik X, yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n, adalah

h(x;N,n,k) = .

Untuk x = 0,1,2,3, ………., k

Contoh :

Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperankat kartu bridge, berapa probabilitas diperoleh 3 kartu hati.

Jawab : Dengan menggunakan sebaran hipergeometrik untuk n= 5, N=52 , k=13, dan x=3, maka probabilitas memperoleh 3 kartu hati adalah,

h(3;52,5,13)= ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬______________

sedangkan nilai rata-rata dan ragam bagi distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah

μ = n k .

N

σ2 = N –n . n k . { 1 - k .}

N – 1 N N

Contoh : Dari contoh di atas tentukan μ dan σ2 nya

Jawab :

μ = (5) (13) . =1.25

52

σ2 = (47/51)(5)(13/52)(1-13/42)

Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson dilahirkan di Pithierspada tanggal 21 Juni 1781. Poisson terkenal karena penerapan ilmu matematikanya dalam mekanika dan fisika. Usaha dan karya ilmiahnya ada di sekitar 300 sampai 400 buah. Tulisannya dalam Traité de mécanique, dipublikasikan dalam dua volume pada tahun 1811 dan 1833, yang manjadi standar kerja dalam mekanika dalam waktu yang lama. Salah satu teorinya yaitu Traité mathématique de la chaleurtahun 1835 ditambah sebuah suplemen pada tahun 1837, dan karyanya yang lain adalah Recherches sur la probabilitié des jugements (1837). Recherches sur la probabilitié des jugements merupakan sebuah karya penting dalam ilmu probabilitas yang dipublikasikan pada tahun 1837, di tahun ini juga distribusi poisson pertama kali muncul

Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu

Distribusi poisson dapat digunakan untuk menentukan probabilitas dari sejumlah sukses yang ditentukan. Kejadian-kejadian terjadi dalam ruang kontinyu. Proses poisson seperti proses Bernoulli, hanya berbeda pada sifat kontinuitasnya saja (Haryono, 1994). Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal berikut:

1.   Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang, luas, atau panjang tertentu, seperti menentukan probabilitas dari:

a.   Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan.

b.   Banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air.

c.   Banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku.

d.   Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu pertama pada bulan April.

2.   Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n≥ 30) dan p kecil (p < 0,1).

Percobaan poisson adalah percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik,yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu. Selang waktu tertentu dapat berupa sedetik, semenit, sejam, sehari, seminggu maupun sebulan. Daerah tertentu dapat berupa satu meter, satu kilometer persegi dan lain-lain.

Keterangan:

x  : 0,1,2, …

μ  : Rata-rata banyaknya sukses.

e  : Bilangan alam (2,71828).

Pengertian Distribusi Poisson

Distribusi peluang suatu peubah acak poisson X disebut distribusi poisson dan dinyatakan dengan p(x;μ), karena nilainya hanya tergantung pada μ, yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi pada selang waktu atau daerah tertentu. Rataan dan variansi distribusi poisson p(x; μ) keduanya sama dengan μ. Berikut ini adalah penjelasan mengenai populasi (n) dan peluang (p) pada distribusi poisson.

1.         Bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi poisson dapat digunakan,  dengan μ = np, untukmenghampiri peluang binomial.

2.        Bila p dekat dengan 1, distribusi poisson masih dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial dengan mempertukarkan apa yang telah dinamai dengan sukses dan gagal, jadi dengan mengganti p dengan suatu nilai yang dekat dengan nol.

Sebaran poisson dan binom memiliki histrogram yang bentuknya hampir sama bila n besar dan p kecil (dekat dengan 0). Kedua kondisi itu dipenuhi sebaran poisson dengan  = np dapat digunakan untuk menghampiri peluang binom. P nilainya dekat dengan 1 dapat saling menukarkan apa yang telah didefinisikan sebagai keberhasilan dan kegagalan, dengan demikian mengubah p menjadi suatu nilai yang dekat dengan 0 (Walpole, 1995).

Sifat Percobaan Poisson

Suatu percobaan yang dilakukan sebanyak N kali, menghasilkan peubah acak X, misalkan banyaknya sukses selama selang waktu tertentu, dimana peluang yang sangat kecil (p mendekati 0), maka percobaan tersebut dinamakan poisson. Beberapa sifat distribusi poisson adalah sebagai berikut :

1.    Banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang dipilih (bebas).

2.    Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang amat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.

3.    Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.

Bilangan X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson disebut peubah acak poisson dan sebaran peluangnya disebut sebaran poisson, yaitu rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah yang diberikan (Walpole, 1995).

Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas-probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa  n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebihdari 20 dan p adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. 

Peristiwa Kedatangan pada Distribusi Poisson

Suatu proses atau peristiwa kedatangan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu dapat digolongkan sebagai proses keatangan poisson jika memenuhi beberapa kriteria tertentu. Berikut ini adalah beberapa kriteria pada peristiwa kedatangan dalam distribusi poisson

1.      Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstan.

2.      Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu yang sudah berlalu. Hal ini memiliki makna bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di waktu berikutnya adalah sama.

3.  Probabilitas untuk peristiwa lebih dari satu kedatangan akan semakin mendekati nol jika interval semakin pendek. Misalnya, jumlah pengunjung suatu restoran tidak mungkin lebih dari satu orang yang dapat melalui pintu masuk dalam waktu satu detik.
    Proses perhitungan secara manual dapat digunakan untuk menentukan probabilitas suatu kedatangan yang berdistribusi poisson.